Answer:
La masa del Sol es [tex]2.509\times 10^{31}[/tex] kilogramos.
Step-by-step explanation:
Tras una lectura cuidadosa al enunciado, tenemos que la Tercera Ley de Kepler queda descrita por la siguiente relación:
[tex]M \propto \frac{r^{3}}{T^{2}}[/tex]
[tex]M = k\cdot \frac{r^{3}}{T^{2}}[/tex] (Eq. 1)
Donde:
[tex]r[/tex] - Distancia entre los centros del planeta y el satélite, medido en kilómetros.
[tex]T[/tex] - Período oribital del satélite, medido en días.
[tex]k[/tex] - Constante de proporcionalidad, medida en kilogramo-días cuadrados por kilómetro cúbico.
[tex]M[/tex] - Masa del planeta, medida en kilogramos.
Podemos obtener la masa del Sol mediante la siguiente relación:
[tex]\frac{M_{S}}{M_{E}} = \frac{\frac{r_{E}^{3}}{T_{E}^{2}} }{\frac{r_{M}^{3}}{T_{M}^{2}} }[/tex]
[tex]\frac{M_{S}}{M_{E}} = \left(\frac{T_{M}}{T_{E}} \right)^{2}\cdot \left(\frac{r_{E}}{r_{M}} \right)^{3}[/tex] (Eq. 2)
Donde:
[tex]T_{M}[/tex], [tex]T_{E}[/tex] - Períodos orbitales de la Luna y la Tierra, medidos en días.
[tex]r_{E}[/tex], [tex]r_{M}[/tex] - Distancias entre la Tierra y el Sol, así como entre la Luna y la Tierra, medidas en kilómetros.
[tex]M_{S}[/tex], [tex]M_{E}[/tex] - Masas del Sol y la Tierra, medidos en kilogramos.
Si [tex]M_{E} = 75.97\times 10^{24}\,kg[/tex], [tex]T_{E} = 365.3\,d[/tex], [tex]T_{M} = 27.3\,d[/tex], [tex]r_{M} = 3.84\times 10^{5}\,km[/tex] y [tex]r_{E} = 1.496\times 10^{8}\,km[/tex], entonces tenemos que la masa del Sol es:
[tex]M_{S} = \left(\frac{T_{M}}{T_{E}} \right)^{2}\cdot \left(\frac{r_{E}}{r_{M}} \right)^{3}\cdot M_{E}[/tex]
[tex]M_{S} = \left(\frac{27.3\,d}{365.3\,d} \right)^{2}\cdot \left(\frac{1.496\times 10^{8}\,km}{3.84\times 10^{5}\,km} \right)^{3}\cdot (75.97\times 10^{24}\,kg)[/tex]
[tex]M_{S} = 2.509\times 10^{31}\,kg[/tex]
La masa del Sol es [tex]2.509\times 10^{31}[/tex] kilogramos.
